Thursday, 7 August 2014

JOM KENALI NOMBOR

Alhamdulillah, kali ini saya berpeluang untuk berkongsi sesuatu dengan korang. Nombor mempunyai beberapa kumpulan yang penting seperti nombor asli (natural number), nombor bulat (whole number), integer, nombor nisbah (rational number), nombor bukan nisbah (irrational number), nombor nyata (real number), nombor khayalan (imaginary number), nombor komplek (complex number), nombor algebra (algebraic number) dan nombor transenden (transcendental number). Saya akan menerangkan serba sedikit berkenaan  nombor-nombor tersebut.

NOMBOR ASLI


Nombor asli? Sekejap, nombor pun ada yang asli dan yang tiruan ke? Haha, bergurau saja. Kalau korang nak tahu apa tu nombor asli teruskan membaca.

Nombor asli ialah nombor yang digunakan untuk mengira ("solat Asar mengandungi 4 rakaat") atau menunjukkan tertib ("membaca al-Fatihah merupakan rukun solat yang ke-4"). Nombor asli bermula dengan 1 dan berterusan hingga ketidakhinggaan (infiniti).
NOTA: infiniti bukannya nombor tetapi merupakan konsep kepada tiada pengakhiran.


garis nombor asli
Set bagi nombor asli disimbolkan dengan simbol N atau \mathbb{N} ( N dalam blackboard bold, ditunjukkan sebagai \mathbb{N} dalam Unicode). Set ini ditulis begini \mathbb{N}={1,2,3,...} dalam penulisan set.


NOMBOR BULAT


Bulat? Haha, nombor 0 je yang bulat. Jadi nombor bulat tu nombor 0 ke? Sebenarnya hampir betul tapi sayangnya salah. Jika sebelum ini nombor asli dimulakan dengan 1, nombor bulat pula dimulakan dengan nombor 0.

perbezaan nombor asli dan nombor bulat
Set nombor bulat pula disimbolkan dengan simbol W atau \mathbb{W} ataupun disimbolkan dengan \mathbb{N}0. Set ini ditulis begini \mathbb{W}={0,1,2,3,...} dalam penulisan set. Jadi secara ringkasnya nombor bulat ialah nombor asli yang mengandungi 0. Tapi sebelum meneruskan perbincangan kepada kumpulan nombor yang seterusnya, rasanya lebih elok jika saya menerangkan sedikit mengapa 0 amat penting dalam sistem nombor.

0 merupakan nombor yang amat misteri pada zaman dahulu. Jika tiada sesuatu untuk dikira macam mana kita hendak mengira? 

14 ekor lembu?


0 ekor lembu? 0 ekor kambing?
Korang boleh kira berapa ekor lembu yang ada tapi di kawasan yang kosong....hanya kawasan kosong. Tapi 0 digukan untuk menentukan rumah tempat. Sebagai contoh pada zaman dahulu, mereka tidak mempunyai nombor 0. Jadi mereka akan tulis '204' sebagai '2 4'. Mereka akan meninggalkan tempat kosong untuk membezakan '204' dengan '24'. Namun jika mereka hendak menulis '240', nombor tersebut akan kelihatan '24'. Oleh itu 0 amat penting untuk menentukan kedudukan nombor (dan juga nilainya).


"2 4  bermaksud 204 (2 ratus, tiada puluh, 4 sa)" 


INTEGER


Integer tu nombor apa? Macam pelik je bunyinya. Sebenarnya integer ialah nombor bulat yang mengandungi nombor negatif. Negatif di kiri, kosong di tengah, positif di kanan.


garis nombor bagi integer
Set bagi integer disimbolkan dengan simbol Z atau \mathbb{Z}. Set ini ditulis begini \mathbb{Z}={...-3,-2,-1,0,1,2,3,...} dalam penulisan set. Jika bercakap mengenai nombor negatif pasti ramai yang tertanya-tanya apa sebenarnya nombor negatif. Mustahil untuk kita memiliki sesuatu seperti "saya mempunyai negatif dua ekor kucing". Bunyinya kelakar. Tapi sebenarnya nombor negatif amat berguna dalam kehidupan seharian. Jika seseorang memiliki hutang sebanyak 1000 ringgit, kita boleh menganggap dia memiliki -1000 ringgit.

Atau seperti penyelam dalam gambar di bawah


penyelam berada di atas aras laut
penyelam berada di bawah aras laut

Penyelam yang berada di atas aras laut boleh dianggap berada pada altitud positif dan penyelam yang berada di bawah aras laut boleh dianggap berada pada altitud negatif.

Atau mungkin seperti pengukuran suhu. Paras beku (0°C) adalah suhu dimana air akan membeku. Tapi kita masih boleh memiliki suhu yang lebih sejuk yang boleh dianggap sebagai suhu negatif. 


NOMBOR NISBAH


Hmmm... nisbah? Macam pernah dengar. Ya, nisbah tu macam menanam pokok kan? Nisbah medium semaian ialah 2:1:1 iaitu 2 tanah loam, 1 bahan organik atau kompos dan 1 pasir sungai. Nisbah medium tanaman ialah 3:2:1 (atau 7:3:2) iaitu 3 tanah loam, 2 bahan organik atau kompos dan 1 pasir sungai. Haha, itu memang nisbah tapi bukan nombor nisbah yang hendak saya bincangkan.

Nombor nisbah ialah apa-apa nombor yang boleh ditulis dalam bentuk pecahan. Jadi, jika 'p' dan 'q' adalah integer maka p/q ialah nombor nisbah. Namun ada satu syarat yang penting iaitu q tidak boleh bernilai 0. Kenapa? Kerana membahagi dengan 0 adalah ... 


AMARAN: Jangan cuba lakukan...XD
tidak dapat ditentukan nilainya. Jangan peningkan kepala memikirkannya.

Set bagi nombor nisbah disimbolkan dengan simbol Q atau \mathbb{Q}. Penulisan set ini agak berlainan daripada yang sebelum ini. Set ini ditulis bergini \mathbb{Q}={p/q : p dan q ialah integer; q ≠ 0} (simbol : di baca "di mana"). Jadi 1/2 adalah contoh bagi nombor nisbah kerana 1/2 menepati syarat yang ditentukan. Namun 2 juga adalah nombor nisbah. Macam mana pula tu? 2 bukannya dalam bentuk pecahan.

Ingat lagi tak, "nombor nisbah ialah apa-apa nombor yang boleh ditulis dalam bentuk pecahan". 2 boleh ditulis dalam bentuk pecahan iaitu 2/1. Jadi 2 juga dikira sebagai nombor nisbah. Ada lagi satu perkara yang ingin saya sebutkan iaitu 1/2 boleh juga ditulis dalam bentuk perpuluhan (1/2 = 0.5). Jadi secara tidak langsung nombor perpuluhan juga ada yang dikira sebagai nombor nisbah tapi bukan semua. Terdapat dua jenis nombor perpuluhan bagi nombor nisbah iaitu digit perpuluhan yang terbatas dan digit perpuluhan yang tidak terbatas.

Contoh digit perpuluhan yang terbatas:

0.5 = 1/2
2.78 = 139/50
1.34 = 67/50
5.237 = 5237/1000

Contoh digit perpuluhan yang tidak terbatas:

1.33333... = 4/3
0.99999... = 1
2.34343434... = 232/99
0.142857142857.... = 1/7

Digit perpuluhan yang terbatas cuma mempunyai berberapa urutan digit selepas titik perpuluhan. Manakala digit perpuluhan yang tidak terbatas mempunyai jumlah digit perpuluhan yang tidak terhitung jumlah digitnya (infiniti). Namun jika korang perhatikan dengan teliti digit perpuluhan yang tidak terbatas korang akan nampak bahawa digit-digit tersebut mempunyai urutan yang sama (berulang).

Pening? Bertenang.Tarik nafas dalam-dalam dan hembus. Minum segelas air dan teruskan membaca.

NOMBOR BUKAN NISBAH


Nombor bukan nisbah ni mesti berlawanan dengan nombor nisbah kan? Kalau nombor nisbah ialah nombor yang boleh ditulis dalam bentuk pecahan jadi nombor bukan nisbah ialah nombor yang tidak boleh ditulis dalam bentuk pecahan lah kan? BINGO! Tepat sekali.

Seperti yang telah saya katakan sebelum ini nombor perpuluhan ada yang dikira sebagai nombor nisbah tapi bukan semua kerana sebahagian besar nombor perpuluhan adalah nombor bukan nisbah. Antara contoh yang biasa ialah:

 √2=1.4142135623730950...




π=3.1415926535897932384626433832795...
e=2.7182818284590452353602874713527...
φ=1.61803398874989484820...
Semua nombor bukan nisbah adalah dalam bentuk perpuluhan dan mempunyai digit perpuluhan yang tidak terhitung jumlahnya (infiniti). Namun tidak seperti nombor nisbah, digit-digit ini tidak mempunyai urutan nombor yang tetap. Sukar untuk meramal atau menjangkakan digit seterusnya tanpa menggunakan kaedah tertentu.

Simbol bagi set ini tidak ditetapkan namun ada yang menggunakan simbol seperti \mathbb{R} \ \mathbb{Q} dan \mathbb{Q}'. Penulisan set bagi nombor bukan nisbah juga sukar untuk dipastikan, namun ada yang menulis begini \mathbb{Q}' = {x : x adalah  nombor perpuluhan yang tidak terbatas dan tidak berulang}. Sekejap, tertanya-tanya apa makna simbol \mathbb{R}, teruskan membaca untuk mengetahuinya...hehe.

NOMBOR NYATA


Apa pula kali ni? Nombor nyata? Sebenarnya tiada apa yang baru mengenai nombor nyata berbanding dengan apa yang telah kita bincangkan. Nombor nyata ialah hasil gabungan nombor nisbah dan nombor bukan nisbah. Ooo... macam tu. Boleh bergabung pula, dah macam cerita Dragon Ball. Hasil gabungan ini telah melengkapkan garis nombor tanpa ada ruang di antara setiap nombor.

nombor nyata berada di sepanjang garis nombor ini
Ha, kali ini persoalan korang akan terjawab. Persoalan apa? Persoalan tentang makna simbol \mathbb{R} tu lah. Simbol R atau \mathbb{R} merupakan simbol set bagi nombor nyata. Set ini di tulis begini \mathbb{R}={x : x ialah nombor nisbah atau nombor bukan nisbah}.

Nampaknya garis nombor kita sudah lengkap. Tidak ada lagi ruang pada garis nombor tersebut. Di mana saja kita lihat pada garis nombor tersebut pasti terdapat nilai nombor nyata. Rasa-rasanya mesti sampai di sini saja kan? Dah lupa ke? Masih ada lagi kumpulan nombor yang belum saya bincangkan. Nak tahu? Selamat membaca.

NOMBOR KHAYALAN


Apa ni? Cerita dongeng? Dah ada dunia khayalan pula. Macam-macam betul lah. Nanti dulu. Nombor khayalan ni sebenarnya  ialah √-1 atau biasanya disimbolkan dengan huruf i. Definisi bagi nombor khayalan ialah suatu nombor apabila dikuasakan dengan 2 akan menjadi negatif.

nombor khayalan
Apa yang menariknya tentang nombor ini? Cuba korang fikir nombor apa jika dikuasakan dengan 2, jawapannya akan menjadi negatif? 2^2=4 (positif), (-2)^2=4 (positif). Hmm... Jadi jika nombor positif atau negatif (atau kosong) dikuasakan dengan 2 jawapannya tetap akan menjadi positif (atau kosong). Hanya nombor khayalan saja yang mampu lakukan. 

Namun masih ada lagi satu perkara yang menarik tentang nombor khayalan. Cuba korang darabkan i dengan i (atau i^2). Senang, jawapannya tentulah -1. Tapi cuba korang terus darabkan lagi dan lagi dengan i. Hasilnya korang akan dapat seperti di bawah.
hasil darab i darab i darab ....
Menarik kan? Saya pasti, tentu ada dalam fikiran korang apa sebenarnya kegunaan nombor khayalan ni. Nama  'khayalan' membuatkannya seperti tidak wujud. Tetapi sebenarnya nombor ini amat penting dalam persamaan kuadratik dan juga bidang elektrik.

Contohnya, persamaan kuadratik x^2+1=0 tidak mempunyai penyelesaian jika kita hanya menggunakan nombor nyata. Dalam bidang elektrik pula, arus ulang-alik (AC) bertukar antara positif dan negatif dalam gelombang sinus. Jika korang gabungkan dua arus ulang-alik, arus tersebut mungkin tidak akan sepadan dengan baik. Hal ini akan membuatkan kerja-kerja untuk meneka arus yang baru menjadi lebih sukar.



Tapi dengan menggunakan nombor nyata dan nombor khayalan bersama kerja-kerja tersebut menjadi lebih mudah untuk dikira. Hasilnya, korang mungkin akan dapat arus 'khayalan' tapi hati-hati, arus tersebut tetap dapat menyakitkan anda...hehe.

NOMBOR KOMPLEK


Apa!? Komplek!? Ish..macam susah je bunyi nye. Tak adalah. Nama saja komplek tapi kalau nak faham apa tu nombor komplek mudah aje. Kalau nombor nyata ialah hasil gabungan nombor nisbah dan nombor bukan nisbah, nombor komplek pula ialah hasil gabungan nombor nyata dan nombor khayalan.

Simbol set bagi nombor komplek ialah C atau \mathbb{C}. Set ini ditulis begini \mathbb{C}={a+bi : a dan b adalah nombor nyata; i = √-1}. Nombor komplek telah melahirkan satu satah yang dipanggil satah komplek. Satah ini terbentuk dengan meletakkan garis nombor nyata dan garis nombor khayalan secara berserenjang.


satah komplek
Jika garis nyata mewakili nombor nyata seperti 3, 0.5, 1/2, -4 dan garis khayalan mewakili nombor khayalan seperti 5i, -8i, 3/5i, 1.7i di mana pula nombor yang mewakili nombor komplek seperti 2+3i, -2+i, -3-3i dan 1-3i? Jawapannya pada gambar rajah dibawah.

nombor komplek yang nilai a dan b nya ≠ 0 berada pada titik pertemuan antara nombor nyata dan nombor khayalan
Menarik kan? Ok. Mari kita teruskan perbincangan kepada kumpulan nombor yang seterusnya. JOM.

NOMBOR ALGEBRA


Algebra? Korang tahu tak apa makna algebra? Insya-Allah, saya akan cuba kongsikan sedikit apa yang saya tahu. Dalam bahasa arab (الجبر) bermaksud gabungan, sambungan atau pelengkap. Perkataan algebra dinamakan sempena perkataan bahasa arab 'al-jabr' dari tajuk buku al-kitab al-muhtasar fi hisab al-jabr wa al-muqabala yang bermaksud 'Buku Ringkasan Tentang Pengiraan melalui Pelengkapan dan Pengimbangan. Buku ini ditulis oleh seorang ahli matematik muslim yang bernama Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa al-Khawarizmi atau lebih dikenali sebagai al-Khawarizmi pada tahun 820.

Ok. Cukup tentang algebra. Kita sambung pula tentang nombor algebra. Apa itu nombor algebra? Nombor algebra ialah sebarang punca bagi suatu polinomial bukan kosong (sifar) dengan satu pemboleh ubah dan pekali-pekali adalah nombor nisbah (atau integer). Tak faham? Baiklah, mari kita main satu permainan.
Permainan ni mudah saja. Peraturannya ialah korang hanya boleh guna nombor asli dan operasi +, -, x dan ^.
Kemudian jadikan nombor yang diberi agar menjadi kosong.

Contoh 1: 25

25-25=0

Contoh 2: 5/7

7(5/7)-5=0

Contoh 3: √2

(√2)^2-2=0

Contoh 4: √-1

(√-1)^2+1=0

Contoh 5: √2+√3

((√2+√3)^2-5)^2-24=0

Ok. Perhatikan setiap contoh tersebut. Jika korang tukarkan setiap contoh nombor yang diberi kepada x:

Contoh 1: x-25=0
Contoh 2: 7x-5=0
Contoh 3: x^2-2=0
Contoh 4: x^2+1=0
Contoh 5: (x^2-5)^2-24=0
                x^4-10x^2+1=0

Nampak tak? Semua nombor yang digunakan dalam permainan ini apabila digantikan dengan x akan kelihatan seperti soalan algebra. Dalam erti kata lain semua nombor-nombor yang saya berikan sebagai contoh  adalah nombor algebra. Hmm... menarik. Kalau perasan la, semua contoh yang saya gunakan adalah integer, nombor nisbah, nombor bukan nisbah, nombor imaginasi dan nombor komplek. Seperti telah melengkapi semua jenis nombor yang telah dibincangkan.

Tapi ada satu perkara yang menarik. Terdapat juga nombor yang tidak boleh kita jadikan kosong dengan menggunakan peraturan permainan di atas. Nak tahu apa nombor tersebut? Sila teruskan membaca.


NOMBOR TRANSENDEN


Transenden? Apa tu? Menurut beberapa sumber transenden bermaksud suatu gaya berfikir tentang perkara-perkara yang melampaui batas fikiran manusia. Perkataan ini digunakan dalam bidang matematik bagi merujuk pada bilangan yang tak terhingga kerana semua nombor transenden adalah nombor bukan nisbah (tetapi bukan semua nombor bukan nisbah adalah nombor transenden).

Berlawanan dengan nombor algebra, nombor ini bukan punca bagi mana-mana polinomial. Nombor transenden amat susah untuk dicari dan dibuktikan. Hanya sedikit sahaja nombor transenden yang diketahui. Antara yang telah terbukti ialah π dan e


Nampaknya samapai di sini sajalah untuk kali ini. Insha-Allah, saya akan cuba berkongsi lagi jika ada kelapangan. Jika korang masih tidak faham atau rasa penerangan yang telah saya buat masih belum cukup, saya minta maaf. Tapi kalau korang betul-betul nak faham cuba lah google tentang kumpulan-kumpulan nombor tersebut. Ilmu tidak terhad kepada satu tempat sahaja. Jika ada kelapangan cuba lah kongsikan apa yang korang faham. Mungkin ada sesuatu yang masih belum saya atau para pembaca yang lain tahu yang boleh kita sama-sama berkongsi. 


SEBARKANLAH WALAUPUN HANYA SATU AYAT 


7 comments: